13. а) Решите уравнение
\( log_{2020}^2(4-x)+log_{2020}(4-x)log_{2020}(x+0.5)=2log_{2020}^2(x+0.5) \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( \frac{2020}{2021};\frac{2021}{2020}+\sqrt{3} \)]
Смотреть решение
14. На боковых ребрах SA и SB правильного тетраэдра SABC взяты точки E и F так, что \( \frac{AE}{ES}=\frac{BF}{FS}=2 \)
а) Докажите, что косинус угла между плоскостями CEF и ABC равен \( \frac{7}{9} \)
б) Найдите площадь проекции треугольника CEF на плоскость основания АВС, если
ребро тетраэдра равно 9.
Смотреть решение
15. Решите неравенство: \( log_{2|x|+1}(7x+4)-log_{7x+4}(2|x|+1)>0 \)
Смотреть решение
16. Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР
остроугольного треугольника АВС так, что \( AP=3,PC=\frac{11}{2},BE:EC=10:1 \)а треугольник AEF является равносторонним.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении
1:16, считая от вершины С.
б) Найдите площадь треугольника AEF.
Смотреть решение
17. 15 июля планируется взять кредит 75 тысяч рублей на 15 месяцев. Условия
погашения кредита таковы:
‐ с 1‐го по 10‐е число каждого месяца банк увеличивает долг, имеющийся на 1‐е
число, на 7,5%;
‐ с 11‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ долг на 15‐е число каждого месяца должен быть на одну и ту же величину меньше
долга на 15‐е число предыдущего месяца.
Сколько месяцев выплаты по погашению кредита будут меньше 6,25 тысячи
рублей?
Смотреть решение
18. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений
\( |x-1|+|x+1|-2y=0 \)
\( x^2+y^2-2ay+2a=1 \)
Смотреть решение
19. Бесконечная арифметическая прогрессия a1, а2, …, аn, состоит из различных
натуральных чисел.
а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, а2, …, а7 ровно три числа
делятся на 90?
б) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел a1, а2, …, а40 ровно 11 чисел
делятся на 90?
в) Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди a1, а2,
…, а3n больше кратных 90, чем среди чисел а3n+1, а3n+2, … а7n, если дополнительно
известно, что разность прогрессии равна 1?
Смотреть решение