Найдите \( tg^272°*ctg^254° \)
Решение
Так как тангенс и котагенс – взаимообратные функции, то
\( tg^272°*ctg^254°=\frac{tg^272}{tg^254}= \)
\( =\frac{sin^272*cos^254}{cos^272*sin^254} \)
Разберемся с
\( sin(54)=sin(90-54)=cos(36) \)
Аналогично
\( cos(54)=sin(36) \)
\( \frac{sin^272*sin^236}{cos^272*cos^236} \)
Заметим, что \( 72=2*36 \)
Сделаем замену \( 36=t \) для удобства
\( \frac{sin^22t*sin^2t}{cos^22t*cos^2t} \)
Рассматривать будем выражение
\( \frac{sin2t*sint}{cos2t*cost} \) – так как его потом можно легко возвести в квадрат и получить нужный нам ответ
Тут воспользуемся формулой двойных углов и получим
\( \frac{2(1-cos^2t)}{2cos^2t-1} \), дальше упрощать бессмысленно
Если мы найдем \( cos36 \), то можно смело подставлять, если вы помните чему он равен, то это замечательно.
\( cos36=\frac{1+\sqrt{5}}{4} \)
Давайте попробуем вывести это
Рассмотрим \( cos(180-\alpha)=-cos\alpha \)
Пусть \( \alpha=2t \)
\( 180=5t \)
\( cos(5t-2t)=-cos2t \)
\( cos(5t-t)=cos(180-36)=-cos2t \)
\( cos3t=-cos2t \)
\( 4cos^3t-3cos^2t=sin^2t-cos^2t \)
Обозначим \( cost=x \), \( 0<x<1 \)
\( 4x^3-3x=1-2x^2 \)
\( 4x^3-3x+2x^2-1=0 \)
Делители +-1, проверкой можно выяснить, что \( x=-1 \) – является корнем уравнения
Тогда делим столбиком на \( x+1 \)
\( (x+1)(4x^2-2x-1)=0 \)
\( x=-1 \) – не подходит
Решая квадратное уравнение, получаем
\( x=\frac{1+\sqrt{5}}{4} \)
(это не ед способ)
\( cos^236=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16} \)
Подставляем это в наше выражение
После всех сокращений можно получить ответ
\( \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5} \)
Ответ: 5