Упростите выражение: \( \frac{tg(45°-\frac{\alpha}{2})(1+sin \alpha)}{cos \alpha} \)
Решение
Обозначим \( 2x=\alpha \)
\( \frac{tg(45-x)(1+sin2x)}{cos2x} \)
\( \frac{tg(45-x)*(sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx)}{cos^2x-sin^2x} \)
\( \frac{tg(45-x)*(sinx+cosx)^2}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} \)
\( \frac{tg(45-x)(sinx+cosx)}{cosx-sinx} \)
Теперь вспоминая \( tg(x-y)=\frac{tg(x)-tg(y)}{1+tg(x)tg(y)} \)
\( \frac{(1-tgx)(sinx+cosx)}{(1+tgx)(cosx-sinx)} \)
\( tgx=\frac{sinx}{cosx} \), \( cosx\neq0 \) и значит по основному тригонометрическому тождеству \( sinx\neq0 \)
Смело приводим все к общему знаметелю
\( \frac{(cosx-sinx)(sinx+cosx)}{(cosx+sinx)(cosx-sinx)}=1 \)
Ответ: 1