Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6√5 и 12√5. Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D1 и середины рёбер AD и CD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.
Решение
Проведем высоту треугольника MND1 \( D1H \), по т о-х перпендикулярах \( DH⊥MN \), значит искомый угол \( ∠DHD1 \)
\( AC=30 \) – по Пифагора
\( MN=15 \) – как средняя линия
\( S_{MND}=0.5*MN*DH=0.5*MD*DN \)
откуда \( DH=6 \)
\( tg∠DHD1=\frac{4}{3} \)
Вспоминая тригонометрическое тождество \( sin^2x+cos^2x=1 \)Деля данное уравнение на \( cos^2x \neq0 \), получим
\( tg^2x+1=\frac{1}{cos^2x} \)
\( cos^2x=\frac{1}{1+tg^2x} \)
Применяя эту формулу
\( cos^2∠DHD1=\frac{1}{1+\frac{16}{9}}=\frac{9}{25} \)
\( cos∠DHD1=0,6 \) (угол острый)
Ответ: 0,6