Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Решение
\( V=\frac{1}{3}S_{осн}*H \)
Заметим,в основании лежит правильный треугольник. Пусть \( a \) его сторона
По т Пифагора \( a=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2} \)
\( S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{18\sqrt{3}}{4} \)
Пусть \( h \) – высота треугольника. Она равна \( h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{6}}{2} \)
Высота пирамиды падает в центр описанной и вписанной в нашем случае окружности.
\( R=\frac{2}{3}h=\sqrt{6} \)
По т Пифагора находим \( H=\sqrt{9-h^2}=\sqrt{3} \)
\( V=\frac{1}{3}*\frac{18\sqrt{3}}{4}*\sqrt{3}=4.5 \)
Ответ: 4,5