Прямая, заданная уравнением \( y=bx+1 \) при некотором значении b является касательной к графику функции \( f(x)=\frac{1}{1+x} \). Найдите b.
Решение
Т.к прямая касается графика ф-ции, то значения в этой точке у 2-х ф-ций равны. Составим систему
\( y=bx+1 \)
\( y=\frac{1}{x+1} \)
\( bx+1=\frac{1}{x+1} \)
\( bx^2+x(b+1)=0 \)
\( x(bx+b+1)=0 \)
Откуда
\( b=-\frac{1}{x+1} \)
Теперь воспользуемся геометрическим смыслом первой производной.
Угловой коэф прямой, т.е b равен значению производной ф-ции в точке касания. Давайте ее найдем
\( b=-\frac{1}{(x+1)^2} \) (\( f'(x)=-\frac{1}{(x+1)^2} \))
Можем приравнять два выражения и найти чему равно \( x \)
\( \frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{x+1} \) Откуда \( x=0 \)
Значит \( b=-1 \)
Ответ: -1