В треугольнике ABC известно, что AC=5√5,tgA=2,tgC=3. Найдите AB.
Решение
Изобразите у себя в тетради произвольный треугольник для удобства.
По т синусов имеем \( \frac{AB}{sin∡C}=\frac{AC}{sin∡B} \)
\( AB=\frac{AC*sinC}{sinB} \)
\( ∡B=180-(∡A+∡C) \)
\( sin∡B=sin(180-(∡A+∡C))=sin(∡A+∡C) \)
\( AB=\frac{AC*sin∡C}{sin(∡A+∡C)} \)
\( sin(∡A+∡C)=sin∡A*cos∡C+sin∡C*cos∡A \)
Вспомним основное тригонометрическое тождество:
\( cos^2x+sin^2x=1 \) поделим на \( cos^2x≠0 \)
\( \frac{1}{cos^2x}=tg^2x+1 \)
\( cosx=\frac{1}{\sqrt{tg^2x+1}} \) – будет пользоваться этой формулой
\( tg∡A=2 \) значит \( cos∡A=\frac{1}{\sqrt{5}} \) и \( sin∡A=\frac{2}{\sqrt{5}} \)
\( tg∡C=3 \) значит \( cos∡C=\frac{1}{\sqrt{10}} \) и \( sin∡C=\frac{3}{\sqrt{10}} \)
мы все нашли, осталось подставить все в формулу
\( AB=15 \)
Ответ: 15