В треугольнике ABC известно, что угол C =90, а медиана CM и биссектриса AL пересекаются в точке T, причём CT = CL. Найдите наибольший острый угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Решение
Пусть \( ∡A=α \), \( ∡B=β \)
\( △ACM \) и \( △CMB \) – равнобедренные, так как CM – медиана, равна половине гипотенузы
\( ∡ACM=α=∡A \)
\( ∡B=β=∡BCM \)
Рассмотрим △CTL
\( ∡ALC=\frac{180-β}{2} \)
Рассмотрим △ALC
\( \frac{α}{2}+90+\frac{180-β}{2}=180 \)
\( \frac{α}{2}+\frac{180-β}{2}=90 \) – умножаем на два
\( α-β=0 \)
\( α=β \)
Отлично)
Значит треугольик ABC – прямоугольный и равнобедренный, а его наименьший острый угол 45
Ответ: 45