Решите уравнение: \( \frac{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}{\sqrt{27+x}-\sqrt{27-x}}=\frac{27}{x} \)Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите наименьший корень.
Решение
Тут прием “на сопряг”, т.е умножаем на сопряженное выражение
\( \frac{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}{\sqrt{27+x}-\sqrt{27-x}} *\frac{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}{\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}}=\frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{27+x-27-x} \)
\( \frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{27+x-27-x}=\frac{27}{x} \)
\( \frac{(\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2}{2x}=\frac{27}{x} \) * \( 2x\neq 0 \)
\( (\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x})^2=27*2 \)
\( |\sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}|=\sqrt{2*27} \)
1) \( \sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}=\sqrt{27*2} \)
Возводим все в квадрат, можно не писать ОДЗ, т.к правая часть положительна
\( 27+x+2*\sqrt{27+x}*\sqrt{27-x}+27-x=27*2 \)
\( 2*\sqrt{27+x}*\sqrt{27-x}=0 \)
Значит \( x=27 \)
\( x=-27 \)
2) \( \sqrt{27+x}+\sqrt{27-x}=-\sqrt{27*2} \)
Здесь нет решений, т.к корень это величина неотрицательная
Ответ: -27