Решите уравнение \( 5^{lgx}=50:x^{lgx} \)Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их произведение.
Решение
\( 5^{lgx}x^{lgx}=50 \)
прологорифируем уравнение по основанию 10 и сделаем замену на \( lgx=t \)
\( lg5*t+t*t=lg5+lg10=lg5+1 \)
\( t^2+lg5*t-lg5-1=0 \)
\( (t-1)(t+1)+lg5(t-1)=0 \)
\( (t-1)(t+1+lg5)=0 \)
\( t=1 \)
\( t=-lg5-1 \)
\( lgx=1 \), значит \( x=10 \)
\( lgx=-lg5-1 \), \( lg5x=-1 \), значит \( x=\frac{1}{50} \)
Ответ: 0,2