Решите уравнение:
\( x^5+\frac{1}{x^5}=\frac{205}{16}(x+\frac{1}{x}) \)
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите наименьший корень.
Решение
Решал прямо в лоб. Возможно есть и другие способы полегче. Пишите в комментах!
Разберем второй способ
Сделаем замену на \( x+\frac{1}{x}=t \)
Нужно как-то выразить \( x^5+\frac{1}{x^5} \) через t
Рассмотрим такое выражение \( (x^3+\frac{1}{x^3})(x^2+\frac{1}{x^2})=x^5+\frac{1}{x^5}+x+\frac{1}{x}=x^5+\frac{1}{x^5}+t \)
\( x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2 \)
\( (x^2+\frac{1}{x^2})(x+\frac{1}{x})=x^3+\frac{1}{x^3}+x+\frac{1}{x} \)
Т.е \( x^3+\frac{1}{x^3}=t(t^2-3) \)
Значит
\( x^5+\frac{1}{x^5}=t(t^2-3)(t^2-2)-t \)
\( t(t^2-3)(t^2-2)-t=\frac{205}{16}t \), \( t\neq0 \)
\( (t^2-3)(t^2-2)=\frac{205}{16}+1 \)
Обычное биквадратное уравнение
\( t=-\frac{5}{2},\frac{5}{2} \)
Делаем обратную замену
ответ получается тот же.