Решите уравнение: \( 27^x-8^x=3(18^x-12^x) \)
Решение
Сделаем замену на \( 3^x=a,2^x=b,a>0,b>0 \)
\( a^3-b^3=3(a^2b-ab^2) \)
\( a^3-b^3=3ab(a-b) \)
Тут сразу же вспоминается формула разности кубов
\( (a-b)(a^2+ab+b^2)=3ab(a-b) \)
\( (a-b)(a^2-2ab+b^2)=0 \)
\( (a-b)^3=0 \)
\( a=b \)
\( 3^x=2^x \)
\( (\frac{3}{2})^x=1 \)
\( x=0 \)
Ответ: 0