Решите уравнение \( (8x+4)^{1/3}-(8x-4)^{1/3}=2 \)Если корней несколько, то в ответе укажите сумму всех корней уравнения.
Решение
Нужно как то упростить уравнение, сделаем замену на \( 8x+4=t \)
\( 8x-4=(8x+4)-8=t-8 \)
\( (t)^{1/3}-(t-8)^{1/3}=2 \)
\( t^{1/3}=(t-8)^{1/3}+2 \)
Возводим все в куб
\( t=t+6(t-8)^{2/3}+12(x-8)^{1/3} \)
\( 6(t-8)^{1/3}((t-8)^{1/3}+2)=0 \)
\( t=8 \)
\( t=0 \)
Делаем обратную замену и получаем ответ
\( x=0.5 \)
\( x=-0.5 \)
Ответ: 0