Решите уравнение: \( (\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})^x+(\sqrt[3]{3-\sqrt{8}})^x=6 \)
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите наибольший корень.
Решение
умножим все уравнение на \( (\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})^x \)
И сделаем замену \( t=(\sqrt[3]{3+\sqrt{8}})^x \)
\( t^2-6t+1=0 \)
\( t=3±\sqrt{8} \)
Делаем обратную замену
\( (3+\sqrt{8})^{x/3}=(3+\sqrt{8})^1 \)
\( (3+\sqrt{8})^{x/3}=(3-\sqrt{8})^1 \) – тут аналогично умножаем на \( (3+\sqrt{8})^{x/3} \)
\( x=3 \)
\( (3+\sqrt{8})^{\frac{3+x}{3}}=1 \), откуда \( x=-3 \)
Ответ: 3