Решите уравнение: \( log_{4}(x^2)+log_{2}(x+5)=2 \)Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите наименьший
корень.
Решение
ОДЗ
\( x^2>0 \)
\( x+5>0 \)
Получаем \( x∈(-5;0)⋃(0;+ ∞) \)
Приводим все к одному основанию
\( 0,5log_{2}(x^2)+log_{2}(x+5)=log_{2}4 \)
\( log_{2}|x|+log_{2}(x+5)=log_{2}4 \)
\( |x|(x+5)=4 \)
Решаем стандартное уравнение, разбиваем на два случая
1. x>=0
\( x^2+5x-4=0 \)
\( x=\frac{-5±\sqrt{41}}{2} \)
т.к x>=0, то остается один корень \( x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2} \)
2. x<0
\( x=-1 \)
\( x=-4 \)
Итак, под ОДЗ все корни подходят, наименьший из них \( x=-4 \)
\( x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}>0 \), т.к \( \sqrt{41}>5 \), значит он точно “отлетает”
Ответ: -4