Решите уравнение:
\( \sqrt{x}((x+2)(x+2021)(x+2020)(x+1)-4040*2021)=0 \)Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите их сумму.
Решение
ОДЗ \( x>=0 \)
\( \sqrt{x}((x+2)(x+2021)(x+2020)(x+1)-4040*2021)=0 \)
\( x=0 \) и
\( (x+2)(x+2021)(x+2020)(x+1)-4040*2021=0 \)
Если раскрывать скобки в обычном порядке, то ничего переобозначить и сократить не получиться, придется работать с большими числами, что не очень хорошо. Но, если, немного приглядеться, то перемножение 1 и 3 скобки и 2 с 4 даст нам одно и тоже слагаемое \( x^2+2022x \) которое мы можем обозначить за новую переменнную. Так и сделаем.
\( \sqrt{x}((x+2)(x+2020)(x+2021)(x+1)-4040*2021)=0 \)
\( (x^2+2022x-4040)(x^2+2022x+2021)-4040*2021=0 \)
Пусть \( x^2+2022x=t \), \( t>=0 \)
\( (t+4040)(t+2021)-4040*2021=0 \)
\( t^2+6061t+4040*2021-4040*2021=0 \)
\( t(t+6061)=0 \)
\( t=0 \)
\( t=-6061 \) – не подходит под ОДЗ
Сделаем обратную замену
\( x^2+2022x=0 \)
\( x(x+2022)=0 \)
\( x=0 \)
\( x=-2022 \) – не подходит под ОДЗ
Ответ: 0