Решите уравнение, указав в ответе корень уравнения или сумму корней, если их
несколько \( \sqrt{log^2_{9}x+log_{3}x^2}=log_{3}\frac{9\sqrt{3}}{x} \)
Решение
ОДЗ
\( x>0 \)
\( log_{3}\frac{9\sqrt{3}}{x}≥0 \), откуда \( \frac{9\sqrt{3}}{x}≥1 \) или \( 0<x≤9\sqrt{3} \)
Теперь можем возвести в квадрат
\( log^2_{9}x+log_{3}x^2=log_{3}^2\frac{9\sqrt{3}}{x} \)
\( \frac{1}{4} log_{3}x+2log_{3}x=(log_{3}(9\sqrt{3})-log_{3}x)^2 \)
\( \frac{1}{4} log_{3}x+2log_{3}x=(2,5-log_{3}x)^2 \)
Получаем квадратное уравнение
\( log_{3}x=1 \)
\( log_{3}x=\frac{25}{4} \)
\( x=3 \)
\( x=3^{\frac{25}{4}} \) – не подходит под ОДЗ
Ответ: 3