Решите уравнение \( |x^2-8x+5|=2x \) Если уравнение имеет более одного корня,в ответе укажите больший рациональный корень.
Решение
Можно раскрыть по определению и рассматривать два случая
Но нам никто не мешает возвести все это дело в квадрат и решить просто уравнение 4-ой степени. Так и сделаем
\( (x^2-8x+5)^2=4x^2 \)
\( ((x^2-8x)+5)^2 \) – легко раскрыть по известной вам формуле \( (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \), где \( a=x^2-8x \), \( b=5 \)
В итоге получаем
\( x^4+64x^2+25-16x^3+10x^2-80x=4x^2 \)
\( x^4-16x^3+70x^2-80x+25=0 \)
Тут уже мы раньше решали похожее по т Безу
Ищем корни исходя от вида свободного члена
Подходит корень \( x=1 \)
Делим столбиком исходный многочлен на x-1. Это процедура школьная, поэтому я писать этого не буду
Итого: \( (x-1)(x^3-15x^2+55x-25)=0 \)
\( x^3-15x^2+55x-25 \) – можно повторить ту же процедуру и с ним, но тут легче просто разложить на множители
\( x^3-15x^2+55x-25=x^3-5x^2-10x^2+50x+5x-25=(x-5)(x^2-10x+5) \)
Итого: \( (x-1)(x-5)(x^2-10x+5) \)
Ответ: 5