Найдите произведение всех различных корней уравнения \( x^2-4x+1=4\sqrt{x^2-4x-2} \)
Решение
ОДЗ: \( x^2-4x+1>=0 \)
\( x<2-\sqrt{3} \) и \( x>2+\sqrt{3} \)
Возведем уравнение в квадрат
\( (x^2-4x+1)^2=16(x^2-4x-2) \)
\( (x^2-4x-2+3)^2=16(x^2-4x-2) \)
Замена на \( x^2-4x-2=a \)
\( (a+3)^2-16a=0 \)
\( a=1 \)
\( a=9 \)
\( x^2-4x-2=1 \)
\( x^2-4x-2=9 \)
\( x=2±\sqrt{7} \)
\( x=2±\sqrt{15} \)
Все 4 корня подходят под ОДЗ
\( (2-\sqrt{7})*(2+\sqrt{7})*(2-\sqrt{15})*(2+\sqrt{15})=(4-7)(4-15)=33 \)
Ответ: 33