Найдите произведение всех различных корней уравнения: \( log_{3}x-6log_{x}9=3 \)
Решение
Ограничения \( x>0 \) и \( x≠1 \)
\( log_{3}x-6\frac{log_{3}9}{log_{3}x}=3 \)
\( log_{3}x-\frac{12}{log_{3}x}=3 \)
Обозначим \( log_{3}x=t \)
Умножаем смело уравнение на t, т.к t≠0 (x≠1 – по условию)
\( t^2-3t-12=0 \)
\( t=\frac{3±\sqrt{57}}{2} \)
\( log_{3}x=\frac{3±\sqrt{57}}{2} \)
\( x=3^{\frac{3+\sqrt{57}}{2}} \)
\( x=3^{\frac{3-\sqrt{57}}{2}} \)
Произведение этих корней даст \( 3^{\frac{3+3}{2}}=27 \)
Ответ: 27