Найдите сумму корней уравнения \( x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}-4=0 \)
Решение
\( x≠0 \)
Умножим уравнение на \( x^2 \)
\( x^4+x^3-4x^2+x+1=0 \)
Возможные корни этого уравнение – это делители числа 1 – т.е ±1
Проверим \( x=1 \) – является корнем
Делим столбиком многочлен \( x^4+x^3-4x^2+x+1 \) на \( (x-1) \)
\( (x-1)(x^3+2x^2-2x-1)=0 \)
Рассмотрим многочлен \( x^3+2x^2-2x-1 \) ищем тем же способом корни
Проверим \( x=1 \) – является корнем
Делим этот многочлен столбиком на \( x-1 \) получим \( (x^2+3x+1) \)
В итоге получаем преобразованное уравнение \( (x-1)^2(x^2+3x+1)=0 \)
\( x=1 \)
\( x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2} \)
Сумма корней равна -2
Ответ: -2