На сайте выложено k видеоуроков по математике продолжительностью ровно 1мин., 2 мин., 3 мин., …, k мин. Виктор хочет за несколько дней посмотреть их все ровнопо одному разу, затрачивая на это ровно полчаса каждый день. (Смотреть видеоурокиможно в любом порядке, но обязательно полностью).
а) Возможно ли это при k = 15?
б) Возможно ли это при k = 10?
в) Найдите все натуральные k, при которых это возможно.
Решение
а) всего минут уроков -это сумма арифметической прогрессии \( S=\frac{1+15}{2}*15=120 \) минут
Достаточно просто привести пример (очевидно, что этот вариант подходит)
1 день посмотрит уроки по 11,10,9 минут
2 день: 15,14,1
3 день: 13,12,5
4 день: 2,3,4,6,7,8
Всего 120 минут
б) \( S=\frac{1+10}{2}*10=55 \) минут (тут нецелое число, очевидно, что нельзя). Т.к он каждый день собирается тратить по пол часа, то с k=10 такое невозможно
в) \( S=\frac{1+k}{2}k=30n \) и \( k<=30 \) (не может тратить больше 30 минут каждый день)
\( k(k+1)=60n \)
Осталось только подобрать \( k \), правая часть делится на 5, значит нужно подбирать чтобы левая часть тоже делилась на 5
При k=4 \( 4*5=60n \) – делится на 5
\( k=5,9,10,14,15,19,20,24,25,29 \)
Теперь осталось проверить
\( k=4 \) время\( 4*5=20 \) минут – это, очевидно, не подходит, т.к не кратно 60
\( k=5 \)время \( 5*6=30 \) минут – тоже не подходит, не кратно 60
\( k=9,10,14 \) – аналогично не подходят
\( k=15 \) время \( 15*16=240 \) – кратно 60, подходит
остальные случаи рассматриваем аналогично, я лишь запишу ответ
Ответ: а) да б) нет в) \( k=15,20,24 \)