Даны натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию n >= 3
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n , если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 129.
Решение
а) \( S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})}{2}n=10 \)
\( a_{1}+a_{n}=\frac{20}{n} \)
\( 2a_{1}+d(n-1)=\frac{20}{n} \)
\( n \) – целые числа, значит \( n=2,4,5,20 \)
Тут просто нужно привести какой-нибудь пример, допустим \( n=4 \)
\( 2a_{1}+3d=5 \) – очевидно, что \( a_{1}=1 \) и \( d=1 \)
б) Сумму находим также
\( 2a_{1}+(n-1)d<\frac{2000}{n} \)
Тут уже нужна логика: Чтобы \( n \) была наибольшей, нужно, брать наименьшие \( a_{1} \) и \( d \), возьмем их равной 1 – это наименьшее натуральное число
\( 2+n-1<\frac{2000}{n} \)
\( n^2+n-2000<0 \)
Найдем корни этого уравнения:
\( x=\frac{-1-3\sqrt{889}}{2} \)
\( x=\frac{-1+3\sqrt{889}}{2} \)
Эти корни нужно оценить, \( 29<\sqrt{889}<30 \)
\( x=\frac{-1-3*30}{2}=-45,5 \)
\( x=\frac{-1+3*30}{2}=44,5 \)
Получаем решение неравенства \( (-45,5;44,5) \) – наибольшее натуральное число из этого интервала – 44
\( n=44 \)
в) \( 3a_{1}+d(n-1)=\frac{258}{n} \)
\( n=3,6,43,86,129,258 \) (по условию n>=3)
Пусть \( n=3 \)
\( 2a_{1}+2d=86 \)
\( a_{1}+d=43 \)
\( a_{1}=37 \), а \( d=3 \) – подобрали пример
Пусть \( n=6 \)
\( 2a_{1}+5d=43 \)
\( a_{1}=19 \), а \( d=1 \) – подобрали пример
Пусть \( n=43 \)
\( 2a_{1}+42d=6 \)
\( a_{1}+21d=3 \) – тут уже не может подобрать пример, т.к \( a_{1},d \) – натуральные числа.
Если рассматривать дальше, то получается аналогичная ситуация:) На ЕГЭ расписываем все полносью
Ответ: а) да б) 44, в) 3,6