19. Пусть S(N) – сумма цифр натурального числа N.
а) Может ли N+S(N) равняться 96?
б) Может ли N+S(N) равняться 97?
в) Найдите все N, для которых N+S(N) = 2017.
Решение
а) Очевидно, что наше число N-двузначное, пусть \( a \) и \( b \) – некоторые числа, тогда проверим пункт а, при этом \( a \)-отличное от нуля
Наше число \( N=10a+b \) – двузначное число. А сумма его цифр \( a+b \)
Проверяем пункт А
\( 10a+b+a+b=96 \), получаем \( 11a+2b=96 \)
Если это уравнение решится в целых числах, то утверждение верное
Если \( a=8 \), то \( b=8 \) – Пункт А – верен.
б) Делаем тоже самое
\( 11a+2b=97 \) – данное уравнение в целых числах не решается.
Пункт Б- неверный
в) Число N должно быть четырехзначным, чтобы получилось 2017.
\( N=1000a+100b+10c+d \) где a-d это некоторые числа.
\( 1001a+101b+11c+2d=2017 \)
Осталось решить это уравнение и найти числа \( a,b,c,d \)
Очевидно, что \( a=1 \), если \( a>2 \), то равенства не будет
Пусть \( b=9 \), чем больше \( b \), чем будут меньше \( c \) и \( d \)
Получаем уравнение
\( 1001+909+11c+2d=2017 \)
\( 11c+2d=107 \)
Пусть \( c=9 \), получаем уравнение
\( 2d=8 \) значит \( d=4 \) , если мы будем понижать \( b \) то целых чисел мы не найдем, проверьте самостоятельно
Получаем число 1994
Ну чтож, будем искать дальше.
Пусть \( a=2 \), тогда \( b=0 \), так как, если \( b>0 \) то получим что сумма больше чем 2017
Получаем, что \( 11c+2d=15 \) – подбираем такие \( c \) и \( d \)
Очевидно, что \( c=1 \) а \( d=2 \)
Получаем число 2012
Ответ: 1994, 2012