19. Даны n ( n>=3) различных натуральных чисел, составляющих арифметическую
прогрессию.
А) Может ли сумма всех данных чисел равняться 22?
Б) Может ли сумма всех данных чисел равняться 23?
В) Найдите все возможные значения n , если сумма всех данных чисел равна 48.
Ответим на пункт А
\( Sn=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n=22 \)
\( a_{1}+a_{n}=\frac{44}{n} \)
Вспоминаем, что \( a_{n}=a_{1}+(n-1)d \)
По условию сумма a1+an- натуральные числа, подберем такие n, тем более что их не так уж и много.
n=4,11,44
Проверяем
\( a_{1}+a_{n}=11 \)
\( a_{1}+a_{1}+3d=2a_{1}+3d=11 \)
Не трудно подобрать такие a1 и d, Пусть a1=1 Тогда d=3
Получаем прогрессию члены которой равны, 1 4 7 10 – и их сумма как раз 22
То есть пунк А верен.
Пункт Б
Делаем аналогично
\( Sn=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}*n=23 \)
\( a_{1}+a_{n}=\frac{46}{n} \)
Делителей 46 не так много, нам нужны натуральные числа. n=23,2. Но 2 нам не подходит по условию, поэтому только 23
\( 2a_{1}+22d1=2 \)
Очевидно, что натуральных чисел подходящих нам нету.
Пункт В
\( 2a1+d(n-1)=\frac{96}{n} \)
Ищем делители, n=3,4,6,8,12,16,24,32,48
И проверяем каждое на справедливость
Пусть n=3
\( 2a_{1}+2d=32 \) или \( a_{1}+d=16 \) в натуральных числах данное уравнение решается
Пусть n=4
\( 2a_{1}+3d=24 \) Опять же в натуральных числах данное уравнение решается. (d=2, а a1=9)
Пусть n=6
\( 2a_{1}+5d1=16 \) – \( a_{1}=8-2.5d \) (d=2, a1=3) решается.
Далее если подставлять, то решения уже не будет, проверьте это самостоятельно.
Ответ: 3,4,6