При каких значениях параметра a уравнения \( 4^{x+1}+2^{x+4}=2^{x+2}+16 \)
\( |a-9|3^{x-2}+a*9^{x-1}=1 \) равносильны?
Решение
Пусть \( 2^x=t,t>0 \)
\( 4t^2+12t-16=0 \)
\( t=-4 \) – не подходит
\( t=1 \)
\( 2^x=1 \)
\( x=0 \)
Т.е первое уравнение имеет только один корень =0. Т.е второе уравнение тоже должно иметь корень =0. Подставим x=0 во второе уравнение
\( |a-9|+a=9 \)
1) \( a>=-9 \)
\( a=9 \)
При a=9 будет один корень =0 (сделайте проверку)
2) \( a<-9 \)
\( 9=9 \) – верное тождество
Т.е при a<-9 уравнение всегда имеет корень =0. Но не факт что нет других решений. Нужно проверить что есть только один корень. Давайте это проверим
\( (9-a)*\frac{3^x}{9}+\frac{a}{9}9^x=1 \)
Пусть \( 3^x=t,t>0 \)
\( at^2+(9-a)t-9=0 \)
Рассмотрим когда \( a=0 \), тогда \( t=1 \) или \( x=0 \) – нас устраивает.
\( a\neq0 \). Т.к один корень у квадратного уравнения мы уже знаем (t=1), то второй найти нетрудно по обратной т Виета
\( t=-\frac{9}{a} \)
Но нам нужен только один корень \( t=1 \)
\( -\frac{9}{a}=1 \), откуда \( a=-9 \)
Все остальные корни нам должны не подходить, т.е должно быть выполнено условие \( t<=0 \) или \( -\frac{9}{a}<=0 \), \( a>0 \)
Т.к нам подошли точки a=0 и a=9, то
При пересечении решений получим отрезок [0;9] – который нам подходит
Ответ: \( -9 \) ⋃\( [0;9] \)