Решение задачи 18. Вариант 282

На чтение 1 мин Просмотров 8 Опубликовано 24.03.2024

При каких значениях параметра уравнение x^4-8x^3-2x^2+24x+a=0 имеет ровно 3 различных корня?

Решение

Преобразуем

$ (x-2)^4=26x^2-56x+16-a $

Построим график функции $ y=(x-2)^4 $ и будем строить параболу в зависимости от а $ y=26x^2-56x+16-a $

Графики будут пересекаться в трех точках в том случае, когда они пересекаются в двух точках и касаются друг друга.

Рассмотрим функцию $ g(x)=26x^2-56x+16-a $ . Найдем их производные функций:

$ y’=4(x-2)^3 $

$ g'(x)=26*2x-26 $

Пусть $x_0$ – абсцисса точки касания двух графиков, тогда $y'(x_0)=4(x_0-3)^3$ и $ g'(x)=26*2x_{0}-56 $. Приравнивая функции, получим

$4(x_0-2)^3=26\cdot 2x_0-56~~~|;4\\ \\ (x_0-2)^3=13x_0-14\\ \\ x_0^3-6x_0^2+12x_0-8-13x_0+14=0\\ \\ x_0^3-6x_0^2-x_0+6=0\\ \\ x_0^2(x_0-6)-(x_0-6)=0\\ \\ (x_0-6)(x_0^2-1)=0\\ \\ (x_0-6)(x_0-1)(x_0+1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$x_0=6\\ x_0=1\\ x_0=-1$

Найдем теперь ординату точку касания

$y(-1)=(-3)^4=81\\ y(1)=(1-2)^4=1\\ y(6)=(6-2)^4=256$

Подставим координаты $g(-1)=81$ и $g(1)=1$ и $g(6)=256$ , мы получим

$g(-1)=81~~~\Rightarrow~~~ 26\cdot (-1)^2-56\cdot (-1)+16-a=81~~~\Rightarrow~~~ \boxed{a=17}\\ \\ g(1)=1~~~\Rightarrow~~~ 26\cdot 1^2-56\cdot 1+16-a=1~~~\Rightarrow~~~ \boxed{a=-15}\\ \\ g(6)=256;~~~\Rightarrow~~ 26\cdot 6^2-56\cdot 6+16-a=256~~~\Rightarrow~~\boxed{a=360}$

Но при а = 360 графики пересекаются в одной точке.

То есть, при а = -15 и а = 17 данное уравнение имеет три различных корня.

Ответ: a = -15 и a = 17.