18. Найти все а, при каждом из которых уравнение
\( ln(xa^2+xa+2x-x^3)=ln(2x-x^2) \)
имеет ровно один корень.
Решение
Итак, т.к стоит логарифм, то обязательно пишем ОДЗ (можно написать на одну из двух функций), убираем логарифмы и получаем систему
\( xa^2+xa+2x-x^3-2x+x^2=0 \) (1)
\( 2x-x^2>0 \) (2)
Решением второго будет \( x∈(0;2) \)
Разберемся с первым (1)
\( x(a^2+a-x^2+x)=0 \)
\( x^2-a^2-(a+x)=0 \)
\( (x-a)(x+a)-(x+a)=0 \)
\( (x-a-1)(x+a)=0 \)
Мы получаем два корня уже. Но нужен один, поэтому рассматриваем два случая, когда один корень подходит под ОДЗ, а второй нет.
1) \( x=-a \) и при этом \( -a∈(0;2) \)
\( x=a+1 \) и при этом \( a+1∉(0;2) \)
Решим ее
\( -2<a<0 \) и \( -1<a<1 \)
Получаем что \( a∈(-2;1] \) причем 1 входит в решение, в этом можно убедится подстановкой и получить один корень
2) \( x=-a \) и при этом \( -a∉(0;2) \)
\( x=a+1 \) и при этом \( a+1∈(0;2) \)
Решая аналогично получаем, что \( a∈[0;1) \)
3) Еще я забыл третий случай. Когда корни совпадают
То есть \( a+1=-a \) и отсюда \( a=-0.5 \)
Ответ: \( a∈[0;1) \) и \( a∈(-2;1] \) {\( {0.5} \)}