Найдите все значения параметра, а, при каждом из которых уравнение:
\( \frac{a}{25^x}-a=2-\frac{25^{-2x}}{5} \)
имеет ровно 2 корня, хотя бы один из которых не менее 0,5.
Решение
Пусть \( 25^x=t,t>0 \)
\( (10+5a)t^2-5at-1=0 \)
Рассматриваем случаи
Если \( (10+5a)=0 \), то \( t=\frac{1}{10} \), это нам не подходит, т.к нам нужно 2 корня
Значит \( (10+5a)\neq0 \)
\( D=25a^2+4(10+5a) \)
Чтобы было 2 корня, нужно потребовать \( D>0 \)
По т Виета
\( t1+t2=\frac{5a}{10+5a}>0 \)
\( t1t2=\frac{-1}{10+5a}>0 \)
Отсюда \( a<-2 \)
Теперь хотя бы один корень >=0,5
\( 25^x>=0,5 \)
\( t>=5 \)
Здесь легче рассмотреть противоположную задачу
\( t<5 \)
\( f(t)=(10+5a)t^2-5at-1 \) – парабола, ветви вниз
\( t_{0}<5 \)
\( f(5)<0 \)
Отсюда и получаем
\( a<- 2,49 \)
Но т.к мы рассматривали противоположную задачу, то
\( a>=- 2,49 \)
Пересекаем с \( a<-2 \)
\( -2,49<=a<-2 \)
Ответ: [-2,49;-2)