Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно \( 4t^3 \) часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно \( t^3 \) часов в неделю, они производят t приборов. За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение
В первом городе рабочие трудятся \( 4x^3 \)
Во втором городе \( y^3 \)
По условию \( x+y=20 \), отсюда \( y=20-x \)
Посчитаем сколько денег тратил владелец
\( f(x,y)=1000*(4x^3+y^3) \) – должны найти экстремум
\( f(x)=1000(4x^3+(20-x)^3) \)
Найдем критические точки
\( f'(x)=1000(12x^2-3(20-x)^2)=0 \)
\( 12x^2=3(20-x)^2 \)
\( 4x^2=(20-x)^2 \)
\( 4x^2=400-40x+x^2 \)
\( 3x^2+40x-400=0 \)
\( x=-20 \)
\( x=\frac{20}{3} \) – точка минимума (можно проверить методом интервалов). Но кол-во приборов должно быть целым. Т.е мы должно рассмотреть или \( x=6 \) или \( x=7 \)
(сравнить два значения)
\( f(6)=3608000 \)
\( f(7)=3569000 \)
Ответ: 3569000