Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму (в рублях) нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Решение
Пусть Сергей в середине каждого месяца откладывает \( x \) рублей
Тогда к середине n-го месяца у Александра будет \( n*x \) рублей, а акции будут стоить, по условию, не более \( 160000*1,25^{n-1} \)
Для того, чтобы Сергей смог купить акции должно быть выполнено неравенство:
\( x>=\frac{160000*1,25^{n-1}}{n} \)
Пусть \( an=\frac{1,25^{n-1}}{n} \)
Нам нужно найти наименьшее из чисел \( an \). Найдем когда последовательность убывает, для этого
Сравним \( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<=1 \) нам нужно найти к
\( \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{5n}{4(n+1)}<=1 \)
\( n<=4 \)
Тогда наименьший элемент последовательности равен \( a_{4}=\frac{125}{256} \)
Тогда
\( x=160000*\frac{125}{256}=78125 \)
Ответ: 78125