Имеются три пакета акций. Суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Решение
Обозначим количество двух пакетов акций как \( n \) и \( m \), тогда кол-во третьего пакета по условию \( n+m \)
Пусть \( x,y,z \) – цена одной акции у 3-х пакетов соответственно.
\( f(n,m)=\frac{n}{n+m+n+m}=\frac{n}{2(n+m)}=\frac{1}{2(1+\frac{m}{n})} \) – эта функция должна принимать макс или мин значение
Обозначим \( \frac{m}{n}=h \)
По условию известно, что цена второго пакета \( 4nx \), т.е \( my=4nx \), отсюда \( y=\frac{4nx}{m} \)
\( (n+m)z=4nx+nx=5nx \), отсюда \( z=\frac{5nx}{n+m} \)
\( 16<=y-x<=20 \) – по условию
\( 16<=\frac{4nx}{m}-x<=20 \)
\( 16<=x(\frac{4n}{m}-1)<=20 \)
\( 16<=x\frac{4-h}{h}<=20 \), отсюда можно сказать сразу, что \( 0<h<4 \) (чтобы было положительное)
\( \frac{16h}{4-h}<=x<=\frac{20h}{4-h} \)
\( 42<=z<=60 \)
\( 42<=\frac{5nx}{n+m}<=60 \)
\( 42<=\frac{5x}{1+h}<=60 \)
\( \frac{42}{5}(1+h)<=x<=12(1+h) \)
Т.е нам нужно решить систему
\( \frac{16h}{4-h}<=x<=\frac{20h}{4-h} \)
\( \frac{42}{5}(1+h)<=x<=12(1+h) \)
Пересечения будут, если
\( \frac{16h}{4-h}<=12(1+h) \) и \( \frac{42}{5}(1+k)>=\frac{20h}{4-h} \)
Из первого \( 3h^2-5h-12<=0 \), отсюда \( 0<h<=3 \) (h-не может быть отрицательным)
Из второго \( 21h^2-13h-84>=0 \), отсюда \( \frac{7}{3}<=h<4 \) (h<4 – как мы выяснили ранее)
Пересечение будет \( \frac{7}{3}<=h<=3 \)
\( f(h)=\frac{1}{2(1+h)} \) – нужно найти экстремум данной функции. Функция монотона, экстемум будет достигаться на границах
Подставим границы
\( f(3)=0,125\) или 12,5%
\( f(\frac{7}{3})=15 \)%
Ответ: 12,5%-наименьший, 15%-наибольший