Строительной организации необходимо построить некоторое количество одинаковых домов общей площадью 2500 м2. Стоимость одного дома площадью а м2 складывается из стоимости материалов ( p_{3}a^{1,5} )тысяч рублей, стоимость строительных работ ( p_{2}a ) тысяч рублей и стоимости отделочных работ ( p_{3}a^{0,5} )тысяч рублей. Числа р1,р2, р3 являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а их произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
Решение
По условию \( p2=qp1 \) \( p3=q^2p1 \) (образуют геом прогрессию)
\( p1+qp1+q^2p1=21 \)
\( p1*qp1*qp1=64 \), откуда \( p1=\frac{4}{q} \)
и подставляем это в 1-ое равенство
\( 4q^2-17q+4=0 \)
\( q=4 \), для этого получаем \( 1,4,16 \)
\( q=\frac{1}{4} \) для этого \( 16,4,1 \)
Построили 63 дома
\( 63a=2500 \), откуда \( a=\frac{2500}{63} \)
Проверим первый случай 16, 4, 1
\( 16a^{\frac{3}{2}}<4a+a^\frac{1}{2} \)
\( 16a<4\sqrt{a}+1 \) – это неравенство невыполняется (сравните числа самостоятельно)
Второй случай 1, 4, 16
\( a^{\frac{3}{2}}<4a+16a^{\frac{1}{2}} \)
\( a<4\sqrt{a}+16 \) – это выполняется
Значит строим n домов
\( f(n,a)=n(a^\frac{3}{2}+4a+16\sqrt{a}) \) мы знаем, что \( n=\frac{2500}{a} \) думаю будет удобнее работать с a
\( f(a)=2500(\sqrt{a}+4+\frac{16}{\sqrt{a}}) \)
Осталось найти минимум данной функции. Берем производную и приравниваем к нулю
\( a=0 \)
\( a=16 \)
По методу интервалов \( a=16 \) – т минимума
\( n=\frac{2500}{16} \), т.к n-целое, значит \( n=156 \) или \( n=157 \) (нужно сравнить значение функции в при этих данных)
\( n=156 \)
Ответ: 156