Мороз Иванович для покупки новогодних подарков планирует в декабре взять кредит на целое число тысяч рублей на четыре года на следующих условиях:
‐ в июле каждого года действия кредита долг Мороза Ивановича возрастает на 10% по сравнению с началом года;
‐ в конце первого и третьего годов Мороз Иванович выплачивает только проценты по кредиту, начисленные за соответствующий текущий год;
‐ в конце второго и четвертого годов Мороз Иванович выплачивает одинаковые суммы, погашая к концу четвертого года весь долг полностью.
Найдите наименьший размер кредита в тыс.руб., при котором общая сумма выплат
превысит 2021 тыс.руб.
Решение
Пусть \( S \) тыс. рублей взяли в кредит
В первом году наш ежегодный платеж будет \( 0,1S \) (выплачиваем проценты за год), сумма долга \( S \)
Во втором году выплачивается какая-то сумма, обозначим ее за \( x \). В конце второго года сумма долго будет \( 1,1S-x \)
В конце третьего года платеж должен быть равен \( 0,1(1,1S-x) \), долг \( 1,1S-x \)
В четвертом году выплата по условию должна быть \( x \), сумма долга после выплаты \( (1,1S-x)*1,1-x \)
Так как долг был полностью погашен, то \( (1,1S-x)*1,1-x=0 \) (1)
Сумма всех платежей \( 0,1S+x+0,1(1,1S-x)+x>2021 \)
\( 2x+0,1(2,1S-x)>2021 \)
Откуда \( x>\frac{20210-2,1S}{19} \)
Из первого уравнения \( S=\frac{210}{121}x \) значит \( S>\frac{210(20210-2,1S)}{121*19} \)
Так как нам нужна наим сумма долга, то \( S=1549 \) тыс рублей
Ответ: 1549