В офисном строении 8 этажей, на каждом из которых, кроме первого, находится кабинет начальника отдела. Управляющая жилищная компания объявила, что в день профилактического ремонта лифта он сделает всего один подъем сразу всех начальников отделов на один, указанный ими этаж. После подъема начальники будут вынуждены идти в свои кабинеты по лестнице. В качестве компенсации за причиненные неудобства за каждый необходимый подъем на очередной этаж по лестнице каждому начальнику будет начислено 200 рублей. За каждый аналогичный спуск – 100 рублей. Этаж необходимо выбрать так, чтобы общая сумма компенсаций была минимальной. Определите в рублях эту сумму.
Решение
Пусть лифт остановится на n-ом этаже. Тогда сверху будет (8-n) этажей, а снизу будет (n-2) этажей. Общая сумма компенсации будет равна
\( S(n)=200(1+2+…+(8-n))+100(1+2+…(n-2)) \)
Видим арифметические прогрессии
\( 200(1+2+…+(8-n))= \)
\( =200*\frac{1+8-n}{2}*(8-n)=100*(9-n)*(8-n) \)
\( 100(1+2+…(n-2))=100*\frac{1+n-2}{2}*(n-2)=50*(n-1)(n-2) \)
\( S(n)=50(3n^2-37n+146) \) – это парабола, ветви вверх, Стандартная 12 задача на нахождение точки минимума. \( 2<=n<=8 \)
(\( n0=\frac{37}{6} \) – т минимума, т.к n-целое, то n=6 или 7, проверяем, n=6)
Ответ: 1600