Аристарх ЛуковАрбалетов хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Аристарха совсем не было денег, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Аристарх откладывает на покупку пакета акций одну и ту же сумму, а в конце каждого месяца пакет дорожает на 20%. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Аристарху каждый месяц, чтобы через некоторое время купить вожделенный пакет акций?
Решение
Пусть \( x \) – это деньги, которые Аристарх откладывает каждый месяц.
Пусть \( n \) – количество месяцев, за которые Аристарх откладывает деньги.
Составим неравенство
\( xn≥100000*1.2^{n-1} \)
В последнем месяце, в середине, когда мы наконец накопим, в конце месяца пакет акций не будет расти для нас, т.к мы его купим, поэтому будет \( 1,2^{n-1} \)
Найдем \( x \), т.к нужно найти наименьшую сумму, то составим уравнение
\( x(n)=\frac{10^5*1.2^{n-1}}{n} \)
Найдем производную и приравняем ее к нулю (сразу уберем 10^5, она никак не влияет на нахождение точек экстремума)
\( \frac{n*1,2^{n-1}*ln1.2-1.2^{n-1}}{n^2}=0 \)
вынесем \( 1.2^{n-1}(n*ln1.2-1)=0 \)
\( 1.2^{n-1}=0 \) – нет решений
\( ln1.2^n=1 \)
\( 1.2^n=e \)
\( e≈2.7 \)
Получаем, что \( 5<n<6 \)
Но так как \( n \) натуральное, то \( n \) равно 5 или 6
\( x(5)=\frac{10^5*1.2^4}{5}=41472 \)
\( x(6)=41472 \)
Ответ: 41472