В начале рабочего дня на некотором предприятии был подключен генератор A,
мощность которого зависела от времени работы \( P_{a}=\frac{20}{t+5} \)Квт. Когда мощность
упала в два раза, генератор заменили на более совершенный генератор B, мощность
которого также зависела от времени работы \( P_{b}=\frac{48}{t+8} \) кВт. Сколько всего
энергии (кДж) выработали генераторы в течение восьмичасового рабочего дня?
Решение
Всем известная формула из физики
\( A=p*t \), A-работа (энергия), p- мощность (постоянная), t-время.
Когда мощность меняется со временем, то мы будем использовать интеграл для вычисления работы. Попробуйте нарисовать график зависимости P от t, и площадь под графиком (в нашем случае под криволинейной трапецией) это и будет работа.
\( \int\limits_a^bP(t)dt=A \)
\( \int\limits_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) \) F-это первообразная функции.
\( f(t)=\frac{1}{t+5}, F(t)=ln(t+5) \) – напоминаю, как находится первообразная.
В начальный момент времени t=0 работал первый генератор, найдем какова была мощность
\( P_{a}=\frac{20}{5}=4 \) Квт
По условию мощность упала в два раза (стала 2 Квт), и тогда подключили генератор B, найдем момент времени когда это произошло
\( P_{a}=\frac{20}{t+5}=2 \) отсюда \( t=5 \), то есть первый генератор работал пять часов.
\( \int\limits_0^5P_{a}dt=A_{a} \) – это работа (энергия) первого генератора, причем мы ее уже в состоянии вычислить:)
\( \left.20ln(t+5)\right|_0^5=20*(ln(10)-ln(5))=20*ln(2) \) – вот работа (энергия) совершенная первым генератором.
Теперь разбираемся со вторым. У нас восьмичасовой рабочий день, значит второй генератор B, работал всего три часа. И его работа вычисляется
\( \int\limits_0^3P_{b}dt=\left.48ln(t+8)\right|_0^3=48*(ln(11)-ln(8))=48*ln(\frac{11}{8}) \) – это работа второго генератора.
Значит вся энергия будет равна \( 20ln2+48ln(\frac{11}{8}) \)