В треугольнике ABC AB=3 ∠ACB=arcsin(0,6) Хорда KN окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает отрезки AC и BC в точках M и L соответственно. Известно, что ∠ ABC=∠ CML, площадь четырёхугольника ABLM равна 2, LM=1.
а) Докажите, что треугольник KNC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KNC.
Решение
а) ⌒AC=2α
\( α=\frac{⌒AN+⌒KC}{2} \), откуда
\( ⌒AC=⌒AN+⌒KC \)
\( ⌒AC=⌒AN+⌒NC \)
Значит \( ⌒NC=⌒KC \), а это дуги на которые опираются вписанные углы, значит ∠NKC=∠CNK, а значит треугольник KNC- р/б, ч.т.д
б) по обобщенной т. синусов
\( R=\frac{AB}{2sin∠C}=\frac{3}{2*\frac{3}{5}}=2,5 \) – радиус описанной окружности
\( △ABC \) подобен \( △LMC \) по 2-м углам
Значит запишем соотношение
\( \frac{BC}{MC}=\frac{AB}{LM}=\frac{3}{1}=3 \)
Пусть \( S_{ABC}=x \), тогда \( S_{LMC}=\frac{x}{9} \)
\( S_{ABC}=S_{ABLM}=x-\frac{x}{9}=\frac{8}{9}x=2 \), откуда \( x=\frac{9}{4} \) и значит
\( S_{LMC}=\frac{1}{4} \)
\( OH=R-CH=2 \)
Тогда \( HK=1,5 \) – по т Пифагора, а значит \( NK=2HK=3 \)
\( S_{KNC}=0.5*CH*NK=\frac{3}{4} \)
Ответ: 0,75