Решить неравенство
\( \frac{4sinx*sin2x-sin^22x-4+4cos^2x}{\sqrt{16-2^{(x-5)^2}}}≥0 \)
Решение
Для начала заметим, что знаменатель всегда положителен, т.к стоит корень, значит нам достаточно потребовать, чтобы числитель был больше или равен нуля.
Но не стоит забывать рассмотреть случаи когда этот корень существует.
\( 16-2^{(x-5)^2}>0 \)
\( 2^{4}>2^{(x-5)^2} \)
\( 4>(x-5)^2 \)
\( x∈(3;7) \)
Теперь \( 4sinx*sin2x-sin^22x-4+4cos^2x≥0 \)
\( 4sinx*sin2x-sin^22x-4(sin^2x+cos^2x)+4cos^2x≥0 \)
\( 4sinx*sin2x-sin^22x-4sin^2x≥0 \)
\( 4sinx*sin2x-4sin^2xcos^2x-4sin^2x≥0 \)
\( sinx*sin2x-sin^2xcos^2x-sin^2x≥0 \)
\( 2sin^2x*cosx-sin^2x*cos^2x-sin^2x≥0 \)
\( sin^2x(2cosx-cos^2x-1)≥0 \)
\( sin^2x(cosx-1)^2≤0 \)
Эта штука не может быть строго меньше нуля, т.к стоят квадраты, значит \( sin^2x=0 \) и \( cosx=1 \)
\( x=\pi n \)
\( x=2 \pi n \)
На интервале (3;7) нам подходят только \( x=\pi, 2 pi \) – это и есть ответ.