В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 6. Точка M –середина ребра СС1, на ребре BB1 отмечена точка N, такая, что BN: NB1 = 1:2.
а) В каком отношении плоскость AMN делит ребро DD1?
б) Найдите угол между плоскостями ABC и AMN.
Решение
Сечение \( AZMN \) строится очень легко, проводим \( AZ \) || \( MN \), и соединяем точки лежащие в одной плоскости.
Если опустить из точки N высоту NZ1 на CC1, то \( Z1M=1 \), тогда треугольники \( NMZ1 \) и \( AZD \) равны по построению, значит \( DZ=1 \)
\( \frac{DZ}{ZD1}=\frac{1}{5} \)
Б) Нужно найти сторону пересечения плоскостей ABC и AMN. Продолжаем стороны MZ и CD
(K-т пересечения прямых CD и MZ), проводим высоту DH,тогда искомый угол \( ∠ZHD \)
△KZD подобен △KMC по 2-м углам, значит \( \frac{KC}{KD}=\frac{ZD}{MC} \) откуда \( KD=2 \), \( AK=\sqrt{AD^2+KD^2}=2\sqrt{5} \)
\( S_{KAD}=0.5*2*4=0.5*2\sqrt{5}*DH \), откуда \( DH=\frac{4}{\sqrt{5}} \)
\( tgKHD=\frac{\sqrt{5}}{4} \)
Ответ: б) \( arctg\frac{\sqrt{5}}{4} \)
P.S Решение я не очень пододробно расписывал, но на экзамене, все должно быть подробно и четко, если что-то не понятно (не поняли что откуда береться), то пишем внизу в комментарии:)