14. Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина
стороны которого равна 4 2 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости
основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит
через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра
AB равен 45.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
Решение:
Задача легко решается и без векторного метода, хотя и им можно
Изобразим треугольную пирамиду. При этом выполним доп построение, продолжим отрезок AC и отложим CE так, чтобы EC=CM.
\( SE=SM=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3} \)
\( ECNM \)-параллелограмм, так как \( EC=MN=2\sqrt{2} \) и MN параллельна AC
\( EM=CN=\sqrt{2}*4*0.5*\sqrt{3}=2\sqrt{6} \)
EM параллельная CN значит угол между CN и SM равен углу между EM и SM, и равен 45, так как треугольник ESM-прямоугольный и равнобедренный. Прямоугольный-проверьте по обратной теореме Пифагора.
б) Расстояние h между CN и SM равно высоте пирамиды ESMC, проведенной к ESM. (Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от первой прямой до параллельной ей плоскости, целиком содержащей вторую прямую. В нашем случае, прямая CN параллельна плоскости ESM, и ESM содержит SM (т.к. CN||EM, где EM – тоже лежит в ESM). Ну а расстояние от прямой параллельной плоскости равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости. В нашем случае оно равно расстоянию от C до плоскости ESM, т.е. высоте пирамиды ESMC/)
\( V(ESMC)=1/3*S(ECM)*SC=1/3*0.5*(2\sqrt{2})^2*sin120=\frac{4}{\sqrt{3}} \)
\( V(ESMC)=1/3S(ESM)*h=1/3*(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2*h \)
Отсюда \( h=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)