а) Решите уравнение \( \frac{1+2sin^2x-3\sqrt{2}sinx+sin2x}{2sinx*cosx-1}=1 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( -\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2} \)]
Решение
ОДЗ:
\( sin2x\neq 1 \), откуда \( x\neq\frac{\pi}{4}+\pi n \)
Теперь умножим на знаменатель, сделаем замену на \( sinx=t,-1<=t<=1 \) и приведем подобные
\( 2t^2-3\sqrt{2}t+2=0 \)
\( t=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( t=\frac{2\sqrt{2}}{2}>1 \) – посторонний корень
Обратная замена
\( sinx=\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x=\frac{\pi}{4}+2 \pi n \) – посторонний корень (из ОДЗ)
\( x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi n \)
Б) Легко отобрать корни на тригонометрической окружности
Я лишь запишу ответ
\( x=\frac{3\pi}{4}-\pi=-\frac{5\pi}{4} \)
Ответ: а) \( x=\frac{3\pi}{4}+2 \pi n \) б) \( x=-\frac{5\pi}{4} \)