а) Решите уравнение
\( (26+15\sqrt{3})^x-5(7+4\sqrt{3})^x+6(2+\sqrt{3})^x+(2-\sqrt{3})^x=5 \)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [0;2]
Решение
Заметим, что \( (2+\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3} \)
\( (2+\sqrt{3})^3=26+15\sqrt{3} \)
\( 2-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}} \)
Сделаем замену \( (2+\sqrt{3})^x=t,t>0 \)
\( t^3-5t^2+6t+\frac{1}{t}=5 \) :t>0
\( t^2-5t+6+\frac{1}{t^2}=\frac{5}{t} \)
\( t^2+\frac{1}{t^2}-5(t+\frac{1}{t})+6=0 \)
\( (t+\frac{1}{t})^2-5(t+\frac{1}{t})+4=0 \)
Пусть \( t+\frac{1}{t}=z \)
\( z^2-5z+4=0 \)
\( z=1 \)
\( z=4 \)
Обратная замена
\( t+\frac{1}{t}=1 \), – тут нет решений, т.к D<0
\( t+\frac{1}{t}=4 \) – тут
\( t=2-\sqrt{3} \)
\( t=2+\sqrt{3} \)
Теперь еще обратная замена
\( (2+\sqrt{3})^x=(2-\sqrt{3}) \), откуда \( x=-1 \)
\( (2+\sqrt{3})^x=(2+\sqrt{3}) \), откуда \( x=1 \)
Ответ: а) \( x=-1,1 \) б) \( x=1 \)