а) Решите уравнение
\( \sqrt{sin^20,5x+2sin0,5x+1}-\sqrt{(4sin0,5x-6)^2}=-2,5 \)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-pi;1,5pi]
Решение
Сделаем замену на \( sin0,5x=t \), \( -1<=t<=1 \)
\( |t+1|-|4t-6|=-2,5 \)
так как \( -1<=t<=1 \), то \( 0<=t+1<=2 \) – значит первый модуль раскроем со знаком +
\( -4<=4t<=4 \)
\( -10<=4t-6<=-2 \) – значит второй модуль раскроем со знаком –
\( t+1-6+4t=-2,5 \)
\( t=0,5 \)
Обратная замена
\( sin0,5x=0,5 \)
\( 0,5x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \)
\( x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
Или если разбить на две серии , то
\( x=\frac{\pi}{3}+4 \pi n \)
\( x=\frac{5\pi}{3}+4\pi n \)
Легко сделать отбор на окружности
\( x=\frac{5\pi}{3} \)
Ответ: а) \( x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+2\pi n \) б) \( x=\frac{5 \pi}{3},\frac{\pi}{3} \)