а) Решите уравнение \( (cosx-sinx)^2+\sqrt(2)sin(\frac{3 \pi}{4}-2x)+\sqrt{3}cosx=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( -\frac{4 \pi}{3};-\frac{2\pi}{3} \)]
Решение
\( (cosx-sinx)^2=cos^2x-2sinxcosx+sin^2x=1-sin2x \)
\( sin(\frac{3\pi}{4}-2x)=\frac{1}{\sqrt{2}}cos2x-(-\frac{1}{\sqrt{2}})sin2x=cos2x+sin2x \)
\( 1-sin2x+cos2x+sin2x+\sqrt{3}cosx=0 \)
\( 2cos^2x+\sqrt{3}cosx=0 \)
\( cosx(2cosx+\sqrt{3})=0 \)
\( cosx=0 \), \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \)
\( cosx=-\frac{\sqrt{3}}{2} \), \( x=±\frac{5 \pi}{6}+ 2 pi n \)
Б) Легко отобрать корни на тригонометрической окружности
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{2}+\pi n \),\( x=±\frac{5 \pi}{6}+ 2 pi n \) б) \( x=-\frac{7 \pi}{6},-\frac{5 \pi}{6} \)