а) Решите уравнение
\( (2\sqrt{3}sin(\pi x+3\pi)-tg(\pi x-\frac{\pi}{2}))*log_{2}(4-x^2)=0 \)
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [-1;2]
Решение
ОДЗ
\( 4-x^2>0 \), откуда \( -2<x<2 \)
\( cos(\pi x -\frac{\pi}{2}) \neq0 \), откуда \( x \neq1+n \)
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы одно из них равно 0. Рассмотрим первое уравнение
Используем формулы приведения
\( -2\sqrt{3}sin(\pi x)-ctg(\pi x)=0 \) умножим на \( sin(\pi x) \neq 0 \)
\( -2\sqrt{3}sin^2 \pi x +cos\pi x=0 \)
\( -2\sqrt{3}+2\sqrt{3}cos^2 \pi x+cos \pi x=0 \)
Тут делаем замену переменных и решаем квадратное уравнение
\( cos\pi x=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( cos\pi x=-\frac{2}{\sqrt{3}}<-1 \) – не подходит
\( x=±\frac{1}{6}+2 n \)
Со вторым множителем все понятно, \( x=±\sqrt{3} \)
Теперь осталось разобраться с ОДЗ, ведь не все нам подходит
\( x=±\sqrt{3} \) – очевидно подходит
\( -2<\frac{1}{6}+2n<2 \), откуда \( -\frac{13}{12}<n<\frac{11}{12} \), значит \( n=-1,0 \)
\( x=-\frac{11}{6} \) и \( x=\frac{1}{6} \)
Аналогично \( -2<-\frac{1}{6}+2n<2 \)
\( -\frac{11}{12}<n<\frac{13}{12} \), значит \( n=0,1 \)
\( x=-\frac{1}{6} \) и \( x=\frac{11}{6} \)
Б) \( x=\sqrt{3},-\frac{1}{6},\frac{11}{6} \)
Ответ: а) \( x=±\frac{1}{6},±\frac{11}{6},±\sqrt{3} \) , б) \( x=\sqrt{3},-\frac{1}{6},\frac{11}{6} \)