а) Решите уравнение
\( 2log_{3}(8sinx-\sqrt{3})-7log_{3}(8sinx-\sqrt{3})+6=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3pi;-1,5pi]
Решение
Пусть
\( log_{3}(sinx-\sqrt{3})=t \)
Решая квадратное уравнение
\( 2t^2-7t+6=0 \)
\( t=2 \)
\( t=1,5 \)
\( log_{2}(8sinx-\sqrt{3})=2 \)
\( 8sinx-\sqrt{3}=4 \)
\( sinx=\frac{4+\sqrt{3}}{8}>1 \) – нет решений
\( log_{3}(8sinx-\sqrt{3})=1,5 \)
Ограничения: \( sin>\frac{\sqrt{3}}{8} \)
\( sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} \) – подходит
\( x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \)
\( x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \)
Б) Легко отобрать на тригонометрической окружности
Ответ: а) \( x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \),\( x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \) б) \( x=-\frac{5\pi}{3} \)