а) Решите уравнение
\( log_{2020}^2(4-x)+log_{2020}(4-x)log_{2020}(x+0.5)=2log_{2020}^2(x+0.5) \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\( \frac{2020}{2021};\frac{2021}{2020}+\sqrt{3} \)]
Решение
ОДЗ
\( \begin{equation*} \begin{cases} 4-x>0 \\ x+0,5>0 \end{cases} \end{equation*} \)
\( x∈(0,5;4) \)
Пусть \( log_{2020}(4-x)=a \) и \( log_{2020}(x+0,5)=b \)
\( a^2+ab-2b^2=0 \)
Видим простое однородное уравнение, поделим его на \( b^2 \neq0 \) (\( log_{2020}(x+0,5)\neq0 \), \( x\neq0,5 \))
\( \frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}-2=0 \)
\( \frac{a}{b}=t \)
\( t^2+t-2=0 \)
\( t=1 \)
\( t=-2 \)
\( \frac{a}{b}=1 \)
\( \frac{a}{b}=-2 \)
\( log_{2020}(4-x)=log_{2020}(x+0,5) \)
\( log_{2020}(4-x)=-2log_{2020}(x+0,5) \)
\( 4-x=x+0,5 \)
\( 4-x=\frac{1}{(x+0,5)^2} \)
\( x=1,75 \)
\( (4-x)(x+0,5)^2=1 \)
\( x(x^2-3x-\frac{15}{4})=0 \)
\( x=\frac{3±2\sqrt{6}}{2} \)
Получаем
\( x=1,75 \)
\( x=0 \)
\( x=\frac{3±2\sqrt{6}}{2} \)
Вспоминая про ОДЗ
\( x=0 \),\( x=1,75 \), \( x=\frac{3+2\sqrt{6}}{2} \)
б)\( \frac{2020}{2021}<1 \), но \( \frac{2020}{2021}>0 \)
Значит x=0, уже не попадает к нам
\( 2<\sqrt{6}<3 \)
\( 3,5<\frac{3+2\sqrt{6}}{2}<4,5 \)
\( \sqrt{3}\approx1,7 \)
\( \frac{2021}{2020}+\sqrt{3}\approx2,7 \)
Значит \( x=\frac{3+2\sqrt{6}}{2} \) тоже нам не подходит
Ответ: а) \( x=0 \),\( x=1,75 \), \( x=\frac{3+2\sqrt{6}}{2} \), \( x=1,75 \)