а) Решите уравнение \( 2^{2x^2}-(2^3+2^8)2^{x^2+2x}+2^{11+4x}=0 \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку
(\( 1+log_{2}0,25;log_{2}16.1 \)]
Решение
Разделим все уравнение на \( 2^{4x}>0 \)
и сделаем замену на \( 2^{x^2-2x}=t,t>0 \)
\( t^2+(2^3+2^8)t+2^11=0 \)
По т. Виета
\( t=2^3 \)
\( t=2^8 \)
Обратная замена
\( 2^{x^2-2x}=2^3 \)
\( 2^{x^2-2x}=2^8 \)
\( x^2-2x-3=0 \)
\( x^2-2x-8=0 \)
\( x=3 \),\( x=-1 \)
\( x=4 \), \( x=-2 \)
Б) \( 1+log_{2}0,25=1+log_{2}2^{-2}=-1 \)
\( log_{2}16.1>log_{2}16>4 \)
Тогда корни принадлежащие отрезку
\( x=3,4 \)
Ответ: а) \( x=-2,-1,3,4 \) б) \( x=3,4 \)