а) Решите уравнение \( 10cos^2\frac{x}{2}=\frac{11+5ctg(\frac{3\pi}{2}-x)}{1+tgx} \)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-2pi;-1,5pi)
Решение
ОДЗ
\( tgx≠-1 \). \( x≠-\frac{\pi}{4}+\pi n \)
\( cosx≠0 \), \( x≠\frac{\pi}{2}+\pi n \)
Вспоминая формулы половинного угла и приведения, можно преобразовать уравнение
\( 10\frac{1+cos2x}{2}=\frac{11+5tgx}{1+tgx} \)
\( 5(1+cosx)(1+tgx)=11+5tgx \)
\( 5sinx+5cosx=6 \)
\( sinx+cosx=\frac{6}{5} \)
Тут стандартное уравнение на метод вспомогательного угла, делим все уравнение на \( \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} \)
\( \frac{1}{\sqrt{2}}=sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4} \)
\( sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{6}{5\sqrt{2}} \)
\( x+\frac{\pi}{4}=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)
\( x+\frac{\pi}{4}=\pi-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)
\( x=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\pi}{4}+2\pi n \)
\( x=\frac{3\pi}{4}-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)
Б) Тут на самом деле, легче всего решить через тригонометрическую окружность.
Не надо супер точно пытаться вычислить где находятся наши точки, нужно лишь примерно понимать где они. \( \frac{3\sqrt{2}}{5} \) – дост большое число, т.е угол будет чуть меньше 90°
Тогда можно с легкостью отобрать корни
Ответ:а) \( x=arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{\pi}{4}+2\pi n \),\( x=\frac{3\pi}{4}-arcsin\frac{3\sqrt{2}}{5}+2\pi n \)
б) \( x=-acrsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{5\pi}{4},acrsin\frac{3\sqrt{2}}{5}-\frac{9\pi}{4} \),